گروه چهارتایی کلاین

در جبر مجرد، گروه چهارتایی کلاین گروهی با چهار عضو و آبلی است.

این گروه کوچکترین گروه نادوری است. نام گروه چهارتایی کلاین از

ریاضی‌دان آلمانی فلیکس کلاین گرفته شده و معمولاً آن را با V برگرفته از

واژهٔ آلمانی Viergruppe (به معنای چهار–گروه) نشان می‌دهند. در حد

یک‌ریختی تنها دو گروه چهار عضوی وجود دارد. یکی گروه Z_۴ با عمل جمع

به هنگ چهار که دوری است و دیگری گروه کلاین است که دوری نیست.

گروه چهارتایی کلاین دارای چهار عضو a و b و c و e است. که e عضو

همانی است. ضرب اعضای آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

ea = ae = a و eb = be = b و ec = ce = c و ee = e و a^۲ = b^۲ = c^۲ = e و ab = ba = c و ac = ca = b و bc = cb = a

ویژگی‌های ساختاری

• گروه چهارتایی کلاین آبلی است. یعنی به ازای هر دو عضو a و b گروه داریم: ab = ba
• گروه چهارتایی کلاین دوری نیست. زیرا عضوی وجود ندارد تا مولد گروه باشد. e مولد نیست، زیرا {e> = {e> که زیرگروه بدیهی گروه کلاین است. ار طرفی a و b و c نیز نمی‌توانند مولد باشند زیرا {a> = {e,a> و {b> = {e,b> و {c> = {e,c> که هر کدام زیرگروه‌های نابدیهی گروه کلاین هستند.
• هر گروه نادوری از مرتبه چهار با گروه کلاین یک‌ریخت است. به عنوان مثال Z_۲ × Z_۲ گروهی چهار عضوی و نادوری است که با گروه کلاین یک‌ریخت می‌باشد.

گروه دوری

گروه G را دوری گوییم هر گاه عضوی مانند موجود باشد به

طوری که G را تولید کند . در واقع عضو x موجود باشد به طوری که:

در این صورت x را مولد G می نامیم. ممکن است برای یک گروه دوری

بیش از یک مولد موجود باشد.

برای هر گروه دوری خواص زیر برقرار است:

1) هر گروه دوری آبلی (جابجایی) است.

2) هر زیرگروه یک گروه دوری ، دوری است.

مثال

گروه Z_n یک گروه دوری است و مولد های آن اعضایی از گروه می باشند

که نسبت به n اولند.

رتبه یک عضو

فرض کنید G یک گروه و g یک عضو دلخواه آن باشد. g را از رتبه متناهی

نامیم هر گاه عدد صحیح مثبتی مانند n موجود باشد به طوری که gⁿ=e

که در آن e عضو همانی گروه می باشد. اگر چنین عددی وجود داشته

باشد کوچکترین آن را رتبه g می خوانیم و به صورت ( o(g نمایش می

دهیم. اگر g از رتبه متناهی نباشد می گوییم g از رتبه نا متناهی است .

مثال

گروه Z₁₂ را در نظر بگیرید. در این صورت o(3)=4 زیرا

3+3+3+3=12=0=e

عمل جابجایی

فرض کنید X یک مجموعه و * یک عمل دوتایی روی مجموعه X باشد.

عمل * را جابجایی گوییم هر گاه برای هر x₁,x₂ در X داشته باشیم

x₁*x_{2 =} x_2*x₁  .

برای مثال عمل جمع روی مجموعه اعداد طبیعی جابجایی است ولی عمل

ضرب ماتریس ها خاصیت جابجایی ندارد.

عمل شرکت پذیر

فرض کنید X یک مجموعه و * یک عمل دوتایی روی X باشد. در این صورت

* را یک عمل شرکت پذیر گوییم هر گاه به ازای هر x₁,x₂,x_{3 در X داشته}

_باشیم:

                                   ₍x₁*x₂₎*x₃₌x_1*(x₂*x₃)

برای مثال مجموعه ماتریس های 2*2 را همراه با عمل ضرب ماتریس ها در

نظربگیرید.می توان نشان داد که این عمل شرکت پذیر است. اما عمل

تفریق روی Z شرکت پذیرنمی باشد .